В мире теории вероятностей случайная величина случайная величина не является просто местом для неизвестного числа, как в алгебре. Вместо этого представьте её как формальный переводчик. Это вещественнозначная функция $X: S \rightarrow \mathbb{R}$, которая сопоставляет каждому качественному результату эксперимента (например, «вытягивание белого шара») количественное числовое значение (например, «-1 доллар»).
Логика отображения
Используя случайные величины, мы перестаём говорить о множествах абстрактных исходов и начинаем говорить о событиях на языке чисел. Например, если мы подбрасываем монету три раза, вместо рассмотрения множества $\{HHT, HTH, THH\}$ мы определяем $X$ как «количество орлов» и просто анализируем событие $X=2$.
Случайная величина является дискретной если её область значений конечна или счётно бесконечна (как целые числа). Это важное различие, поскольку позволяет нам использовать суммирование ($∑$), а не интегрирование, для вычисления общих вероятностей.
Функция массы вероятности (ФМВ)
ФМВ, обозначаемая $p(a)$, фиксирует вероятность того, что дискретная случайная величина примет конкретное значение $a$. Она должна удовлетворять двум непреложным аксиомам:
- $p(x_i) \geq 0$ (Нет отрицательных вероятностей).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (Общая масса вероятности должна покрывать все возможные исходы).
Разобранный пример: Парадокс урны
Рассмотрим урну с 8 белыми, 4 чёрными и 2 оранжевыми шарами. Мы извлекаем шар и определяем $X$ как наш выигрыш: мы получаем $2 за чёрный шар, но теряем $1 за белый. ФМВ преобразует действие «извлечение шара» в финансовое распределение, позволяя вычислить вероятность разорения по сравнению с выходом в ноль.
Если $p(i) = c\lambda^i/i!$ при $i=0, 1, 2, \dots$, мы сначала находим $c$, обеспечивая, что сумма равна 1. Используя ряд Тейлора для $e^\lambda$, находим $c = e^{-\lambda}$. Тогда $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ и $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$.